Unbestimmtes Integral

EINFÜHRUNG IN DEN UMGEKEHRTEN PROZESS DES ABLEITENS

In der Analysis stellt das unbestimmte Integral die Umkehroperation zum Ableiten (Differenzieren) dar. Es handelt sich um einen Prozess, bei dem wir eine Funktion suchen, deren Ableitung gleich der gegebenen Funktion ist. Eine solche Funktion nennen wir Stammfunktion, und das Ergebnis der Integration bezeichnen wir als unbestimmtes Integral.

DEFINITION DES UNBESTIMMTEN INTEGRALS

Sei f eine auf einem Intervall I definierte Funktion. Das unbestimmte Integral der Funktion f bezeichnen wir mit:

∫f(x) dx = F(x) + C

wobei:

• F(x) eine Stammfunktion ist, für die F′(x) = f(x) gilt,
• C eine beliebige Konstante ist, genannt Integrationskonstante.

Da die Ableitung einer Konstante gleich null ist, hat jede Funktion f unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden.

GRUNDLEGENDE INTEGRATIONSREGELN (GRUNDINTEGRALE)

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C, für n ≠ -1 (Integral von x hoch n dx ist gleich x hoch (n+1) geteilt durch (n+1) plus C)
• ∫1/x dx = ln|x| + C (Integral von 1 durch x dx ist gleich ln Betrag von x plus C)
• ∫e^x dx = e^x + C (Integral von e hoch x dx ist gleich e hoch x plus C)
• ∫a^x dx = a^x / ln(a) + C, a > 0, a ≠ 1 (Integral von a hoch x dx ist gleich a hoch x geteilt durch ln von a plus C)
• ∫sin(x) dx = -cos(x) + C
• ∫cos(x) dx = sin(x) + C
• ∫1 / (1 + x²) dx = arctan(x) + C (Integral von 1 durch (1 plus x Quadrat) dx ist gleich Arkustangens von x plus C)
• ∫1 / √(1 – x²) dx = arcsin(x) + C (Integral von 1 durch Wurzel aus (1 minus x Quadrat) dx ist gleich Arkussinus von x plus C)

Die Integration respektiert die Linearität:

∫[af(x) + bg(x)] dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx, wobei a und b reelle Konstanten sind.

BEISPIEL: INTEGRAL DER FUNKTION F(X) = 3X² + 2X + 1

Wir zerlegen den Term und wenden die Grundregeln an:

∫(3x² + 2x + 1) dx
= 3∫x² dx + 2∫x dx + ∫1 dx
= 3*(x³/3) + 2*(x²/2) + x + C
= x³ + x² + x + C.

Die Stammfunktion ist also: F(x) = x³ + x² + x + C.

FAZIT

Das unbestimmte Integral ist die Umkehroperation des Ableitens und führt zu einer Menge von Funktionen, die dieselbe Ableitung haben. Durch die Einbeziehung der Integrationskonstante erfassen wir alle möglichen Lösungen. Die Integrationsregeln basieren auf dem Erkennen bekannter Funktionsformen und ihrer umgekehrten Beziehung zu den Ableitungsgesetzen.