Ableitungen anderer elementarer Funktionen

EINFÜHRUNG IN DIE ELEMENTAREN FUNKTIONEN

Zu den Elementarfunktionen gehören neben den Potenzen auch exponentielle, logarithmische und trigonometrische Funktionen. Für jede dieser Funktionen gibt es charakteristische Ableitungsregeln, die eine Grundlage für das Verständnis komplexerer Ausdrücke bilden. Die Kenntnis der Ableitungen dieser Funktionen ermöglicht es, Probleme der Differentialrechnung effizient zu lösen.

ABLEITUNGEN VON EXPONENTIALFUNKTIONEN

Exponentialfunktionen sind Funktionen der Form a^x, wobei a eine Konstante größer als 0 ist. Die am häufigsten verwendete Sonderform ist die natürliche Exponentialfunktion e^x, wobei e eine mathematische Konstante ist (etwa 2,718).

• Die Ableitung der Funktion e^x ist:(e^x)' = e^x
• Die Ableitung der allgemeinen Form von a^x lautet:(a^x)' = a^x * ln(a)

Dabei ist ln(a) der natürliche Logarithmus von a.

ABLEITUNGEN VON LOGARITHMISCHEN FUNKTIONEN

Logarithmische Funktionen sind die Umkehrung der Exponentialfunktionen. Die gebräuchlichste ist der natürliche Logarithmus ln(x), der die Umkehrung der Funktion e^x ist.

• Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist:(ln(x))' = 1 / x, mit x > 0
• Die Ableitung des Logarithmus einer beliebigen Basis ist:(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a)), wobei a > 0 und a ≠ 1

ABLEITUNGEN VON TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN

Trigonometrische Funktionen haben charakteristische Ableitungen, die auf ihrem periodischen Verhalten beruhen. Dabei gilt Folgendes:

• (sin(x))' = cos(x)
• (cos(x))' = -sin(x)
• (tan(x))' = 1 / cos²(x), wobei cos(x) ≠ 0
• (cot(x))' = -1 / sin²(x), mit sin(x) ≠ 0
• (sec(x))' = sec(x) * tan(x)
• (cosec(x))' = -cosec(x) * cot(x)

ABLEITUNGEN VON INVERSEN TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN

Auch die inversen trigonometrischen Funktionen haben wichtige Ableitungen:

• (arcsin(x))' = 1 / √(1 - x²), für |x| < 1
• (arccos(x))' = -1 / √(1 - x²), für |x| < 1
• (arctan(x))'' = 1 / (1 + x²)
• (arccot(x))' = -1 / (1 + x²)

ZUSAMMENFASSUNG IN LISTENFORM

• Exponential:
• • (e^x)' = e^x
  • (a^x)' = a^x * ln(a)
• Logarithmisch:
• • (ln(x))' = 1 / x
  • (log_a(x))' = 1 / (x * ln(a))
• Trigonometrisch:
• • (sin(x))' = cos(x)
  • (cos(x))' = -sin(x)
  • (tan(x))' = 1 / cos²(x)
  • (cot(x))' = -1 / sin²(x)
• Trigonometrische Umkehrung:
• • (arcsin(x))' = 1 / √(1 - x²)
  • (arccos(x))' = -1 / √(1 - x²)
  • (arctan(x))' = 1 / (1 + x²)
  • (arccot(x))' = -1 / (1 + x²)

SCHLUSSFOLGERUNG

Die Ableitungen anderer elementarer Funktionen sind ein grundlegendes Instrument zur Lösung komplexerer Probleme in der Analysis. Die Kenntnis ihrer Ableitungen ist für die Analyse von Veränderungen, die Untersuchung des Verlaufs von Funktionen und die Lösung von Differentialgleichungen unerlässlich. Diese Ableitungen werden häufig mit grundlegenden Regeln wie der Kettenregel, der Produktregel und der Quotientenregel kombiniert, um auch die komplexesten Ausdrücke lösen zu können.