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"Für die nächste Generation"
Der Richtungskoeffizient ist eine Zahl, die angibt, wie steil eine Linie ist. Er ist ein Schlüsselelement der Gleichung einer Geraden, die wie folgt geschrieben wird:
y = kx + n
wobei k der Richtungskoeffizient und n der Anfangswert (Schnittpunkt mit der y-Achse) ist.
Je größer k ist, desto steiler ist die Linie. Wenn k negativ ist, fällt die Linie. Ist k gleich Null, so ist die Linie horizontal.
Eine Tangente ist eine Linie, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt und die gleiche Steigung hat wie der Graph in diesem Punkt. Die Tangente zeigt die aktuelle Änderungsrichtung der Funktion an und steht in direktem Zusammenhang mit der Ableitung der Funktion an einem bestimmten Punkt.
Die Gleichung der Tangente an x₀ lautet also:
y = f '(x₀) - (x - x₀) + f(x₀)
Dies ist die Form der linearen Funktion, die durch den Punkt (x₀, f(x₀)) verläuft und deren Steigung gleich der Ableitung ist.
Die Normale ist die Linie, die die Tangente in demselben Punkt senkrecht schneidet. Ihre Besonderheit besteht darin, dass sie senkrecht zur Tangente steht, so dass ihr Richtungskoeffizient mit der Ableitung der Funktion durch die folgende Regel verbunden ist:
kₙ = -1 / f '(x₀)
Diese Regel ergibt sich aus der Tatsache, dass das Produkt der Richtungskoeffizienten zweier senkrechter Linien gleich -1 ist.
Die Gleichung der Normalen im gleichen Punkt (x₀, f(x₀)) lautet:
y = -1 / f '(x₀) - (x - x₀) + f(x₀)
Gegeben sei eine Funktion f(x) = x². Wir wollen die Tangente und die Normale im Punkt x₀ = 1 finden.
Die Richtungskoeffizienten der Tangente und der Normalen sind entscheidend für ein genaues geometrisches Verständnis des Verhaltens einer Funktion in einem bestimmten Punkt. Die Tangente folgt der Richtung der Funktion, während die Normale senkrecht zu ihr steht. Beide Ausdrücke werden aus dem Wert einer Funktion und ihrer Ableitung gebildet, was sie eng mit der Differentialrechnung verknüpft.