EINFÜHRUNG IN DAS KONZEPT DES RICHTUNGSKOEFFIZIENTEN
Der Richtungskoeffizient ist eine Zahl, die angibt, wie steil eine Linie ist. Er ist ein Schlüsselelement der Gleichung einer Geraden, die wie folgt geschrieben wird:
y = kx + n
wobei k der Richtungskoeffizient und n der Anfangswert (Schnittpunkt mit der y-Achse) ist.
Je größer k ist, desto steiler ist die Linie. Wenn k negativ ist, fällt die Linie. Ist k gleich Null, so ist die Linie horizontal.
TANGENTE AN DEN GRAPHEN DER FUNKTION
Eine Tangente ist eine Linie, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt und die gleiche Steigung hat wie der Graph in diesem Punkt. Die Tangente zeigt die aktuelle Änderungsrichtung der Funktion an und steht in direktem Zusammenhang mit der Ableitung der Funktion an einem bestimmten Punkt.
- Bei einer Funktion f(x) ist der Richtungskoeffizient der Tangente am Punkt x₀ gleich f '(x₀).
- Das bedeutet, dass die Tangente die Linie ist, deren Steigung gleich dem Wert der Ableitung an dem Punkt ist, an dem sie den Graphen berührt.
Die Gleichung der Tangente an x₀ lautet also:
y = f '(x₀) - (x - x₀) + f(x₀)
Dies ist die Form der linearen Funktion, die durch den Punkt (x₀, f(x₀)) verläuft und deren Steigung gleich der Ableitung ist.
DIE NORMALE AUF DEN GRAPHEN DER FUNKTION
Die Normale ist die Linie, die die Tangente in demselben Punkt senkrecht schneidet. Ihre Besonderheit besteht darin, dass sie senkrecht zur Tangente steht, so dass ihr Richtungskoeffizient mit der Ableitung der Funktion durch die folgende Regel verbunden ist:
- Wenn kₜ der Richtungskoeffizient der Tangente ist (also kₜ = f '(x₀)), dann ist der Richtungskoeffizient der Normalen:
kₙ = -1 / f '(x₀)
Diese Regel ergibt sich aus der Tatsache, dass das Produkt der Richtungskoeffizienten zweier senkrechter Linien gleich -1 ist.
Die Gleichung der Normalen im gleichen Punkt (x₀, f(x₀)) lautet:
y = -1 / f '(x₀) - (x - x₀) + f(x₀)
WICHTIGE DATEN FÜR BEIDE LINIEN
- Die Tangente und die Normale gehen immer durch denselben Punkt auf dem Graphen der Funktion.
- Die Tangente folgt der Richtung des Graphen und die Normale verläuft senkrecht dazu.
- Die Tangente ist ein Hilfsmittel zur lokalen Annäherung an eine Funktion durch eine Gerade.
- Die Normale ist in der geometrischen Analyse und bei der Lösung einiger geometrischer Probleme nützlich.
BEISPIEL
Gegeben sei eine Funktion f(x) = x². Wir wollen die Tangente und die Normale im Punkt x₀ = 1 finden.
- f(1) = 1² = 1 → der Punkt auf dem Graphen ist (1, 1)
- f '(x) = 2x → f '(1) = 2 → der Richtungskoeffizient der Tangente ist 2
- Tangente: y = 2(x - 1) + 1 → y = 2x - 1
- Normale: kₙ = -1/2
- Normale: y = -1/2(x - 1) + 1 → y = -(1/2)x + 1,5
SCHLUSSFOLGERUNG
Die Richtungskoeffizienten der Tangente und der Normalen sind entscheidend für ein genaues geometrisches Verständnis des Verhaltens einer Funktion in einem bestimmten Punkt. Die Tangente folgt der Richtung der Funktion, während die Normale senkrecht zu ihr steht. Beide Ausdrücke werden aus dem Wert einer Funktion und ihrer Ableitung gebildet, was sie eng mit der Differentialrechnung verknüpft.
