Partielle Integration (per partes)

EINFÜHRUNG IN EINE SPEZIELLE INTEGRATIONSMETHODE

Die Integration per partes (lateinisch für „durch Teile“, auch Produktintegration genannt) ist eine der wichtigeren Techniken zur Berechnung unbestimmter Integrale. Sie basiert auf der Produktregel für die Ableitung zweier Funktionen und ermöglicht die Lösung von Integralen, bei denen ein Produkt zweier Ausdrücke gegeben ist, die einzeln nicht einfach zu integrieren sind.

FORMEL FÜR DIE PARTIELLE INTEGRATION

Sei f(x) * g(x) das Produkt zweier differenzierbarer Funktionen. Dann gilt für das Integral des Produkts aus f(x) und der Ableitung g'(x):

∫f(x) * g′(x) dx = f(x) * g(x) − ∫f′(x) * g(x) dx.

In einer anwendungsfreundlicheren Form wird die Formel üblicherweise geschrieben als:

∫u * dv = u * v − ∫v * du,

wobei:

• u die Funktion ist, die wir ableiten (du = u′ dx),
• dv der Differentialausdruck ist, den wir integrieren (v = ∫dv).

Der Erfolg der Methode basiert auf einer klugen Wahl von u und dv, sodass das Integral ∫v*du einfacher wird als das ursprüngliche.

WAHL DER FUNKTIONEN U UND DV

Für die Wahl der Funktionen berücksichtigen wir oft eine Prioritätenreihenfolge unter Verwendung der LIATE-Regel (oder ähnlicher Eselsbrücken wie ILATE, LIPET):

• Logarithmische Funktionen
• Inverse trigonometrische Funktionen (Arkussinus, etc.)
• Algebraische Funktionen (Polynome wie x, x², etc.)
• Trigonometrische Funktionen (Sinus, Kosinus, etc.)
• Exponentialfunktionen

Funktionen, die in dieser Liste weiter oben stehen, werden bevorzugt als u gewählt.

BEISPIEL: ∫x * e^x dx

Wir wählen:

• u = x → du = 1 * dx = dx,
• dv = e^x dx → v = ∫e^x dx = e^x.

Wir wenden die Formel an:

∫x * e^x dx = x * e^x − ∫e^x * dx = x * e^x − e^x + C.

Lösung: ∫x * e^x dx = e^x(x − 1) + C.

BEISPIEL: ∫ln(x) dx

Hier verwenden wir eine spezielle Form, bei der wir ln(x) als u behandeln, auch wenn dv nicht explizit als Produktfaktor gegeben ist. Wir schreiben ln(x) als:

∫ln(x) dx = ∫ln(x) * 1 dx.

Wir wählen:

• u = ln(x) → du = (1/x) dx,
• dv = 1 dx → v = x.

Es folgt:

∫ln(x) dx = x * ln(x) − ∫x * (1/x) dx
= x * ln(x) − ∫1 dx = x * ln(x) − x + C.

FAZIT

Die partielle Integration ist eine Schlüsselmethode zur Lösung von Integralen von Produktfunktionen. Mit der Regel ∫udv = uv − ∫v*du formen wir ein schwierigeres Integral in ein leichteres um, wobei der Erfolg der Methode von der richtigen Wahl der Funktionen abhängt. Die Technik wird oft auch mehrmals hintereinander oder in Kombination mit anderen Methoden angewendet.