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"Für die nächste Generation"
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In der Kombinatorik stellen Kombinationen eine Methode zur Auswahl von Elementen aus einer bestimmten Menge dar, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt. Das bedeutet, dass die Auswahlen {A, B, C} und {C, B, A} als dieselbe Kombination gelten. Kombinationen werden häufig beim Zählen von Möglichkeiten in Fällen verwendet, in denen die Reihenfolge keine Bedeutung hat – zum Beispiel beim Ziehen von Zahlen, bei der Auswahl von Personen für eine Gruppe oder bei der Auswahl von Gerichten von einer Speisekarte.
Wenn wir aus einer Menge von n verschiedenen Elementen k Elemente auswählen, wobei die Reihenfolge nicht wichtig ist und die Elemente ohne Wiederholung ausgewählt werden, sprechen wir von Kombinationen ohne Wiederholung.
Die Anzahl all solcher Kombinationen bezeichnen wir mit C(n, k) oder als Binomialkoeffizient "n über k", was nach folgender Formel berechnet wird:
C(n, k) = n! / [k! * (n – k)!]
Diese Formel berücksichtigt alle möglichen geordneten Auswahlen (Variationen: n! / (n – k)!) und teilt diese durch die Anzahl der möglichen Reihenfolgen der ausgewählten k Elemente (k!), da uns die Reihenfolge nicht interessiert.
Wie viele verschiedene 3-köpfige Teams können aus 5 Personen gebildet werden?
n = 5, k = 3
C(5, 3) = 5! / (3! * 2!) = 120 / (6 * 2) = 120 / 12 = 10
Wenn bei der Auswahl die Wiederholung von Elementen erlaubt ist, verwenden wir Kombinationen mit Wiederholung, bezeichnet als C'(n, k) oder oft auch mit der Notation für den Binomialkoeffizienten ((n über k)). Die Formel lautet:
C'(n, k) = C(n + k – 1, k) = (n + k – 1)! / [k! * (n – 1)!]
Das bedeutet, dass wir mehr Möglichkeiten haben, da dasselbe Element mehrmals ausgewählt werden kann.
Auf wie viele Arten kann man aus 3 verschiedenen Obstsorten (n = 3) 4 Früchte (k = 4) auswählen, wenn Wiederholungen erlaubt sind?
C'(3, 4) = C(3 + 4 – 1, 4) = C(6, 4) = 6! / (4! * (6-4)!) = 6! / (4! * 2!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15
Beispiel aus der Menge {A, B, C}:
Kombinationen werden verwendet bei:
Kombinationen sind eine grundlegende Zählmethode für Fälle, in denen wir ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auswählen. Die Anzahl aller Kombinationen ist immer geringer als die Anzahl der Variationen aus derselben Menge (für k>1 und k<n), da Permutationen innerhalb derselben Gruppe als ein einziger Fall gezählt werden. Die Kenntnis der Unterschiede zwischen Kombinationen, Permutationen und Variationen ist entscheidend für das korrekte Zählen in verschiedenen kombinatorischen Situationen.
