Variationen

EINFÜHRUNG IN GEORDNETE AUSWAHLEN

In der Kombinatorik werden Variationen verwendet, um die möglichen Arten zu zählen, wie wir eine ausgewählte Anzahl von Elementen aus einer größeren Menge anordnen können, wobei die Reihenfolge wichtig ist. Dieser Ansatz ist entscheidend beim Anordnen, Kodieren, Erstellen von Passwörtern oder beim Zuweisen von Plätzen an Personen, wenn es darauf ankommt, wer Erster, Zweiter, Dritter usw. ist.

Bei Variationen ist es nicht notwendig, alle Elemente der Menge zu verwenden – aus einer Menge mit n Elementen wählen wir k Elemente aus (k ≤ n) und ordnen sie in einer geordneten Folge an.

VARIATIONEN OHNE WIEDERHOLUNG

Wenn wir die Wiederholung von Elementen nicht zulassen, sprechen wir von Variationen ohne Wiederholung. Ihre Anzahl bezeichnen wir mit V(n, k) oder nPk und berechnen sie nach der Formel:

V(n, k) = n * (n – 1) * (n – 2) * … * (n – k + 1)
oder mit Fakultäten geschrieben:
V(n, k) = n! / (n – k)!

BEISPIEL

Wie viele verschiedene zweistellige Zahlen gibt es, wenn wir die Ziffern von 1 bis 5 ohne Wiederholung verwenden?

n = 5 (Ziffern), k = 2 (die Zahl hat zwei Stellen)
V(5, 2) = 5 * 4 = 20

VARIATIONEN MIT WIEDERHOLUNG

Wenn Wiederholungen erlaubt sind, dann kann jede der k Stellen mit einem der n Elemente besetzt werden, unabhängig von den bereits ausgewählten.

Formel für Variationen mit Wiederholung:

V'(n, k) = n^k (n hoch k)

BEISPIEL

Wie viele verschiedene zweistellige Zahlen gibt es, wenn wir die Ziffern von 1 bis 5 mit erlaubter Wiederholung verwenden können?

n = 5, k = 2
V'(5, 2) = 5^2 = 25

UNTERSCHIED ZWISCHEN VARIATIONEN UND PERMUTATIONEN

• BEI PERMUTATIONEN ordnen wir alle Elemente an (k = n).
• BEI VARIATIONEN ordnen wir nur einige Elemente an (k < n oder k ≤ n, je nach Definition, aber typischerweise wird eine Auswahl getroffen).
• IN BEIDEN FÄLLEN IST DIE REIHENFOLGE WICHTIG.

BEISPIEL

Wir haben die Menge {A, B, C}, also n = 3:

• PERMUTATIONEN (k = 3): ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA → 3! = 6
• VARIATIONEN OHNE WIEDERHOLUNG (k = 2): AB, AC, BA, BC, CA, CB → V(3, 2) = 3! / (3-2)! = 6

ANWENDBARKEIT

Variationen treten in verschiedenen Kontexten auf:

• BESTIMMUNG MÖGLICHER PASSWÖRTER ODER CODES
• ANORDNUNG VON FINALISTEN NACH PLÄTZEN
• BILDUNG VON KOMBINATIONEN AUS KARTEN, ZAHLEN, SYMBOLEN, BEI DENEN DIE REIHENFOLGE EINE ROLLE SPIELT

FAZIT

Variationen sind ein grundlegendes Werkzeug der Kombinatorik, wenn es um die geordnete Auswahl einer kleineren Anzahl von Elementen aus einer gegebenen Menge geht. Wir unterscheiden zwischen Fällen mit und ohne Wiederholung, wobei jedes Mal entscheidend ist, dass die Reihenfolge der ausgewählten Elemente nicht vernachlässigbar ist, sondern das Endergebnis beeinflusst.