Logarithmus

GRUNDLEGENDENDEFINITION

Ein Logarithmus ist die umgekehrte mathematische Operation der Potenzierung. Wenn wir eine Potenz der Form
a^b = c
haben, dann ist der Logarithmus der Zahl c zur Basis a gleich b, was man wie folgt schreibt:

logₐ(c) = b

Das bedeutet: Der Logarithmus beantwortet die Frage, „Zu welcher Potenz muss man die Basis a erheben, um die Zahl c zu erhalten?“

Zum Beispiel:
log₂(8) = 3, weil 2³ = 8.

BESTANDTEILE DES LOGARITHMUS

• Basis (a): Die Zahl, die potenziert wird (a > 0, a ≠ 1)
• Argument (c): Die Zahl, deren Logarithmus gesucht wird (c > 0)
• Ergebnis (b): Der Exponent, der angibt, wie oft die Basis multipliziert wird

BESONDERE FÄLLE

• Zehnerlogarithmus: Basis 10 → log(c) = log₁₀(c)
• Natürlicher Logarithmus: Basis e (≈ 2,718) → ln(c) = logₑ(c)

EIGENSCHAFTEN DER LOGARITHMEN

Logarithmen folgen bestimmten Rechengesetzen:

logₐ(x·y) = logₐ(x) + logₐ(y)
logₐ(x/y) = logₐ(x) − logₐ(y)
logₐ(xⁿ) = n·logₐ(x)
logₐ(a) = 1
logₐ(1) = 0

Ein Logarithmus ist nicht definiert für negative Argumente oder eine Basis, die gleich 1 ist, da in diesen Fällen kein gültiger Exponent bestimmt werden kann.

RECHENBEISPIELE

Finde:
log₃(81)

Da 3⁴ = 81 gilt:
log₃(81) = 4

Ein weiteres Beispiel:
log₁₀(1000) = 3, da 10³ = 1000.

FAZIT

Ein Logarithmus ist ein grundlegendes mathematisches Konzept, das Potenzen, Exponenten und Multiplikation auf inverse Weise verbindet. Dank seiner Eigenschaften können große oder sehr kleine Zahlen einfacher behandelt und exponentielle Ausdrücke in lineare Bestandteile zerlegt werden. Das Verständnis der Logarithmen bedeutet, das Verhältnis zwischen Wachstum, Potenzierung und der inversen Funktion der Potenzierung zu begreifen.