Natürliche Zahlen sind positive Zahlen, die zum Zählen verwendet werden. Ganzzahlen umfassen 0 und negative Zahlen. Natürliche Zahlen werden mit ℕ und ganze Zahlen mit ℤ bezeichnet. Ganze Zahlen erlauben die Subtraktion ohne Grenzen, was die Möglichkeiten des Rechnens erweitert.
DIE MENGE DER NATÜRLICHEN ZAHLEN
Die natürlichen Zahlen bilden die Grundmenge der Zahlen, die wir zum Zählen von Objekten und zum Ordnen nach Größe verwenden. Sie werden häufig mit dem Symbol ℕ bezeichnet. Es gibt zwei verschiedene Definitionen für diese Menge:
- ℕ = {1, 2, 3, 4, ...} (außer 0)
- ℕ₀ = {0, 1, 2, 3, ...} (einschließlich 0)
Die erste Definition wird häufiger verwendet, insbesondere in der Zahlentheorie, während die zweite die 0 als natürliche Zahl einschließt, was für bestimmte mathematische Strukturen nützlich ist.
MENGE DER GANZEN ZAHLEN
Die Menge der ganzen Zahlen, die mit ℤ bezeichnet wird, umfasst alle natürlichen Zahlen, ihre Gegenstücke (negative Zahlen) und die Zahl 0. Die Menge ist also definiert als.
Mit ganzen Zahlen lassen sich alle Grundrechenarten durchführen, einschließlich der Subtraktion, die in der Menge ℕ nicht immer möglich ist . Wenn man beispielsweise 5 von 3 subtrahiert, erhält man -2, was keine natürliche Zahl ist, sondern eine ganze Zahl.
EIGENSCHAFTEN VON NATÜRLICHEN ZAHLEN UND GANZEN ZAHLEN
Beide Mengen haben wichtige mathematische Eigenschaften:
- Reihenfolge: Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger, den man durch Addition von 1 erhält.
- Unendlichkeit: Beide Mengen sind unendlich, da wir immer eine neue Zahl finden können, die auf die bestehende folgt.
- Offenheit: Alle natürlichen Zahlen sind größer oder gleich 1 (oder 0 in einigen Definitionen), während ganze Zahlen in beide Richtungen ins Unendliche gehen.
- Neutrale Elemente: Die Zahl 0 ist das neutrale Element für die Addition (a + 0 = a), während 1 das neutrale Element für die Multiplikation ist (a × 1 = a).
BEISPIELE FÜR GRUNDRECHENARTEN
Die Operationen mit natürlichen Zahlen und ganzen Zahlen folgen bestimmten Regeln:
- Addition: 5 + 3 = 8, (-2) + 6 = 4
- Subtraktion: 7 - 4 = 3, (-3) - 5 = -8
- Multiplikation: 4 × 3 = 12, (-2) × 3 = -6
- Division: Sie ist in der Menge der ganzen Zahlen nicht immer möglich, da 7 : 2 keine ganze Zahl, sondern ein Bruch ist.
SCHLUSSFOLGERUNG
Natürliche Zahlen und ganze Zahlen sind grundlegende mathematische Mengen, die grundlegende Rechenoperationen ermöglichen. Während die natürlichen Zahlen die Grundlage für das Zählen bilden, erweitern die ganzen Zahlen diese Menge um negative Werte und ermöglichen eine allgemeinere mathematische Behandlung. Ihre Anwendungen reichen von grundlegenden arithmetischen Operationen bis hin zu fortgeschrittenen mathematischen Konzepten.
