DEFINITION UND STRUKTUR
Polynome sind mathematische Ausdrücke, die durch Kombination der Konstanten und Potenzterme einer Variablen mit natürlichen Exponenten gebildet werden. Jeder Term hat die Form akxk, wobei ak eine reelle Zahl (ein sogenannter Koeffizient), x eine Variable und k eine natürliche Zahl oder Null ist. Die allgemeine Form des Ausdrucks ist:
P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0
wobei an=0 und n den Grad des Ausdrucks bestimmt. Der Term mit der größten Potenz der Variablen bestimmt die wichtigsten Merkmale des Verhaltens der Funktion.
ARTEN VON POLYNOMEN NACH DEM GRAD
Je nach Grad unterscheidet man Grundtypen:
- Nullgrad: Konstante (P(x)=a0)
- ersten Grades: Gerade (P(x)=a1x+a0)
- zweiter Grad: Parabel
- höhere Grade: komplexere glatte Kurven
Je höher der Grad, desto größer ist die mögliche Variationsbreite der Werte des Ausdrucks.
KOEFFIZIENTEN UND FÜHRENDER TERM
Der führende Term anxn bestimmt die allgemeine Richtung der Kurve für große absolute Werte von x. Ist der führende Koeffizient positiv, steigt die Funktion gegen unendlich an, ist er negativ, nimmt sie ab.
OPERATIONEN MIT POLYNOMEN
Mit diesen Ausdrücken können verschiedene Rechenoperationen durchgeführt werden:
- Addition und Subtraktion: Artikel für Artikel mit den gleichen Potentialen
- Multiplikation: Multiplikation jedes Terms des ersten mit jedem Term des zweiten
- Division: ähnlich wie bei der Division von Zahlen, unter Verwendung des Verfahrens der Restdivision
BEISPIEL FÜR EIN EINFACHES POLYNOM
Der Ausdruck sei gegeben:
P(x)=2x3-5x2+x+4
Dieser Ausdruck hat vier Terme, von denen die höchste Potenz 3 ist, was bedeutet, dass es sich um einen Ausdruck dritten Grades handelt. Die Koeffizienten sind: a3=2, a2=-5, a1=1, a0=4. Der führende Koeffizient ist positiv, d.h. die Funktion ist für große Werte von x steigend.
SCHLUSSFOLGERUNG
Ausdrücke mit Potenztermen von Variablen, geordnet nach abnehmendem Grad, bilden die Grundbausteine vieler mathematischer Konzepte. Ihr Verständnis ist entscheidend für die weitere Erforschung mathematischer Strukturen, wie sie bei der Lösung von Gleichungen, bei der Analyse von Funktionen und in weiteren Kapiteln der Analysis auftreten.
