GRUNDLEGENDE EIGENSCHAFTEN VON POLYNOMEN
Polynome sind Ausdrücke, die aus Variablen und Konstanten bestehen und durch die Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation miteinander verbunden sind. Die allgemeine Form eines reellen Polynoms vom Grad n ist:
P(x)=anxn+an−1xn−1+…+a1x+a0
wobei an,an-1,...,a0 reelle Zahlen sind, an=0, und n eine natürliche Zahl ist, die den Grad des Ausdrucks bestimmt. Der Graph einer solchen Funktion ist eine glatte Kurve ohne scharfe Punkte oder Brüche.
DER GRAPH DES GRAPHEN IN BEZUG AUF DEN GRAD
Der Grad beeinflusst die Anzahl der Biegungen und das endgültige Verhalten des Graphen. Ist der Grad gerade, haben die Schenkel des Graphen auf beiden Seiten die gleiche Richtung (beide gehen nach oben oder nach unten), ist der Grad ungerade, zeigen die Schenkel in entgegengesetzte Richtungen.
Der Leitkoeffizient an bestimmt die Richtung des Graphen im Unendlichen:
- Ist an>0, steigt der Graph bei großem x an.
- Wenn an<0 ist, geht er nach unten.
NULLSTELLEN UND MULTIPLIZITÄT
Die Nullstellen sind die Werte von x, für die P(x)=0 ist. Jede Nullstelle kann eine bestimmte Multiplizität haben, d. h. wie oft sie als Faktor in der Entwicklung des Ausdrucks auftritt. Wenn eine Nullstelle eine gerade Vielfachheit hat, berührt der Graph die x-Achse; wenn sie eine ungerade Vielfachheit hat, schneidet sie diese.
VERHALTEN ZWISCHEN DEN NULLSTELLEN
Zwischen den Nullstellen kann der Graph über oder unter der x-Achse liegen. Die Form hängt vom Vorzeichenwechsel und den lokalen Extrema ab, die durch die erste und zweite Ableitung bestimmt werden, aber das geht über die grundlegende Erklärung hinaus.
BEISPIEL: POLYNOM VOM DRITTEN GRAD
Nehmen wir den Ausdruck:
P(x)=x3-3x2-4x+12
Finden wir die Nullstellen mit der Methode der Exponenten oder mit rationalen Werten:
P(x)=(x-1)(x+2)(x-3)
Die Nullstellen sind also x=1,-2,3, alle mit der Vielfachheit 1. Da es sich um einen dritten Grad mit Leitkoeffizient 1 handelt, geht die linke Seite nach unten, die rechte Seite nach oben.
SCHLUSSFOLGERUNG
Der Graph eines solchen Ausdrucks ist eine stetige Kurve mit drei Durchgängen durch die x-Achse. Jeder Nullpunkt ist ein Punkt, an dem der Graph seine Position in Bezug auf die Achse ändert. Es ist wichtig, den Grad, den Leitkoeffizienten und die Form der Teilung zu verstehen, da diese Elemente die Gesamtstruktur des Graphen bestimmen.
