DEFINITION UND GRUNDBEGRIFFE
Null ist der Wert einer Variablen, bei dem der Wert des Ausdrucks Null wird. Mathematisch gesehen ist dies jede Lösung einer Gleichung der Form P(x)=0, wobei P(x) ein Polynomausdruck ist. Wenn es eine Zahl a gibt, für die P(a)=0 ist, sagt man, dass a die Null dieses Ausdrucks ist.
Die Nullstellen sind wichtig, weil sie die Schnittpunkte des Graphen mit der horizontalen Achse des Koordinatensystems definieren. Diese Punkte haben Koordinaten der Form (a,0), wobei a die Lösung ist.
ALGEBRAISCHER ANSATZ ZUR BESTIMMUNG DER NULLSTELLEN
Der am häufigsten verwendete Ansatz zur Ermittlung von Nullstellen niedrigeren Grades ist die:
- Faktorisierung, wobei der Ausdruck in das Produkt linearer (oder quadratischer) Terme zerlegt wird
- der rationale Test, bei dem die Teiler des freien Terms überprüft werden
- Anwendung der Formel für eine quadratische Gleichung, wenn ein Term zweiten Grades vorliegt
Jede Lösung erhält man, indem man jeden Faktor mit Null gleichsetzt: Bei P(x)=(x-2)(x+3) sind die Nullstellen x=2 und x=-3.
VIELFACHHEIT DER NULLSTELLEN
Jede Nullstelle kann eine bestimmte Multiplizität haben, d. h. wie oft sie in dem Ausdruck vorkommt. Wenn eine Lösung zweimal die Quadratwurzel ist, z. B. (x-1)2, so hat sie eine Vielfachheit von 2. Dies wirkt sich auf die Form des Graphen aus: bei geraden Vielfachheiten berührt sie die Achse, bei ungeraden Vielfachheiten schneidet sie sie.
BEISPIEL
Sei:
P(x)=x3-4x2+5x-2
Mit Hilfe des Rationalitätstests können wir feststellen, dass x=1 die Lösung ist:
P(1)=1-4+5-2=0
Wir können also durch (x-1) dividieren, was zu folgendem Ergebnis führt:
P(x)=(x-1)(x2-3x+2)
Dann faktorisieren wir den quadratischen Ausdruck:
x2-3x+2=(x-1)(x-2)
Insgesamt erhalten wir:
P(x)=(x-1)2(x-2)
Die Nullstellen sind also x=1 mit der Multiplizität 2 und x=2 mit der Multiplizität 1.
SCHLUSSFOLGERUNG
Die Nullstellen stellen die Schlüsselinformation über die Struktur des Ausdrucks dar. Ihr Auffinden gibt Aufschluss über das Verhalten der Funktion, die Faktoraufteilung und die Analyse der Graphenform. Jede Nullstelle ist nicht nur eine Lösung für eine Gleichung, sondern auch ein wichtiger Indikator für die Eigenschaften des Ausdrucks als Ganzes.
