Definition eines Vektors

GRUNDLEGENDE BESTIMMUNG

Ein Vektor ist ein mathematisches Objekt, das durch Richtung und Größe bestimmt wird. Mit ihm beschreiben wir eine gerichtete Größe – das bedeutet, dass er neben dem Wert (Länge) auch Informationen darüber enthält, in welche Richtung er wirkt. In der Ebene oder im Raum wird ein Vektor oft als gerichtete Strecke mit einem Pfeil dargestellt.

Aus mathematischer Sicht ist ein Vektor als geordnetes Paar (in der Ebene) oder Tripel (im Raum) reeller Zahlen definiert, die die Koordinaten seiner Ausrichtung relativ zum Ursprung darstellen. In der Ebene bezeichnen wir ihn als v = (x, y), im Raum als v = (x, y, z), wobei x, y und z die Komponenten des Vektors sind.

BESTANDTEILE EINES VEKTORS

• ANFANGSPUNKT (von dem der Vektor ausgeht),
• ENDPUNKT (wohin der Vektor zeigt),
• KOMPONENTEN – die Differenz zwischen den Koordinaten des Endpunkts und des Anfangspunkts (wenn der Vektor nicht im Ursprung beginnt; wenn er im Ursprung beginnt, sind die Komponenten gleich den Koordinaten des Endpunkts),
• GRÖSSE (auch Norm oder Länge genannt), bezeichnet mit |v|.

Die Größe des Vektors v = (x, y) berechnet sich mit:

|v| = Wurzel(x² + y²) (Betrag von v gleich Wurzel aus x Quadrat plus y Quadrat),

im Raum für v = (x, y, z) mit:

|v| = Wurzel(x² + y² + z²) (Betrag von v gleich Wurzel aus x Quadrat plus y Quadrat plus z Quadrat).

BERECHNUNGSBEISPIEL

Sei der Vektor a = (3, 4) gegeben. Seine Größe berechnen wir als:

|a| = Wurzel(3² + 4²) = Wurzel(9 + 16) = Wurzel(25) = 5.

Das bedeutet, dass der Vektor a 5 Einheiten lang ist und vom Ursprung zum Punkt (3, 4) gerichtet ist.

FAZIT

Dieses mathematische Objekt ist grundlegend für die Beschreibung von Richtung und Größe in vielen geometrischen und algebraischen Konstruktionen. Es besteht aus Komponenten entlang der einzelnen Koordinatenachsen, was seine Behandlung in der Ebene oder im Raum unter Verwendung von Standardrechenoperationen wie Addition, Skalarmultiplikation und Längenberechnung ermöglicht.