Skalarprodukt

GRUNDLEGENDE DEFINITION

Das Skalarprodukt (auch Punktprodukt oder inneres Produkt genannt) ist eine algebraische Operation zwischen zwei Vektoren, die eine reelle Zahl (einen Skalar) zurückgibt. Im Gegensatz zum Vektorprodukt, das einen neuen Vektor zurückgibt, drückt das Skalarprodukt die Verwandtschaft der Richtungen zweier Vektoren aus. Es wird verwendet, um die Projektion eines Vektors auf einen anderen zu berechnen und um Orthogonalität (Rechtwinkligkeit) festzustellen.

Für die Vektoren a = (x₁, y₁, z₁) und b = (x₂, y₂, z₂) ist das Skalarprodukt definiert als:

a * b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁*z₂

In der Ebene (wenn z = 0 ist) vereinfacht sich die Formel zu:

a * b = x₁x₂ + y₁y₂

GEOMETRISCHE DEUTUNG

Das Skalarprodukt kann auch mit Hilfe der Längen (Beträge) der Vektoren und des Winkels zwischen ihnen ausgedrückt werden:

a * b = |a|*|b|*cos(φ)

wobei φ der Winkel zwischen den Vektoren a und b ist, mit 0° ≤ φ ≤ 180°.

Daraus folgt:

• Wenn a * b > 0, ist der Winkel zwischen den Vektoren spitz.
• Wenn a * b < 0, ist der Winkel stumpf.
• Wenn a * b = 0, sind die Vektoren orthogonal (rechtwinklig zueinander).

BEISPIEL

Gegeben seien die Vektoren:
a = (2, 1, –3)
b = (–1, 4, 2)

Das Skalarprodukt ist:

a * b = 2*(-1) + 1*4 + (-3)*2 = -2 + 4 - 6 = -4.

Da das Ergebnis negativ ist, ist der Winkel zwischen den Vektoren größer als 90° (stumpf).

EIGENSCHAFTEN

• KOMMUTATIVITÄT: a * b = b * a
• DISTRIBUTIVITÄT (BEZÜGLICH VEKTORADDITION): a * (b + c) = a * b + a * c
• WENN MINDESTENS EIN VEKTOR DER NULLVEKTOR IST, DANN IST AUCH DAS PRODUKT GLEICH 0.
• DAS SKALARPRODUKT MIT EINEM EINHEITSVEKTOR GIBT DIE PROJEKTION AUF DIE RICHTUNG DIESES EINHEITSVEKTORS ZURÜCK (multipliziert mit der Länge des Vektors, der projiziert wird).

FAZIT

Das Skalarprodukt ist eine wichtige Operation in der Vektoralgebra, da es die algebraische und geometrische Darstellung von Vektoren verbindet. Es ermöglicht die Überprüfung der Orthogonalität, die Berechnung von Winkeln und Projektionen und dient als Grundlage in vielen geometrischen und physikalischen Kontexten.