Ableitung - Aufgabe 1

Erklärung

5 Minuten

Die Ableitung misst, wie sich eine Funktion in Bezug auf ihre Variable ändert. Sie liefert Steigungen von Tangenten, Extremstellen (Maxima und Minima) und Wendepunkte. Unten findest du eine kompakte Wiederholung der Kernideen und eine schrittweise Lösung von drei Übungen mit Fokus auf die Potenzregel.

Grundlegende konzepte

Die Ableitung von f(x) an der Stelle x kann über den Grenzwert der mittleren Änderungsrate definiert werden, wenn h gegen 0 geht:

f'(x) = lim_{h->0} ( f(x + h) - f(x) ) / h

Diese Definition liegt allen Ableitungsregeln zugrunde.

Ableitungsregeln

Ableitung einer Konstante: d/dx(c) = 0
Potenzregel: d/dx(x^n) = n*x^(n-1)
Konstante vorziehen: d/dx(kx^n) = kn*x^(n-1)
Summe und Differenz: gliedweise ableiten
Produktregel: d/dx( f(x)*g(x) ) = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)
Quotientenregel: d/dx( f(x)/g(x) ) = ( f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x) ) / ( g(x) )^2
Kettenregel: d/dx( f(g(x)) ) = f'(g(x))*g'(x)

Beispiele

Beispiel 1
Gegeben f(x) = x^-3. Potenzregel mit n = -3:
f'(x) = -3x^(-3-1) = -3x^-4
(Optional) f'(x) = -3/(x^4), mit x != 0.

Beispiel 2
Gegeben f(x) = 3x^8 + x^-2. Termweise ableiten:
d/dx(3x^8) = 38x^(8-1) = 24x^7
d/dx(x^-2) = -2x^(-2-1) = -2x^-3
Kombiniert: f'(x) = 24x^7 - 2x^-3
(Optional) f'(x) = 24x^7 - 2/(x^3), x != 0.

Beispiel 3
Gegeben f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 + 6x + 8.
d/dx(3x^4) = 12x^3
d/dx(-5x^3) = -15x^2
d/dx(2x^2) = 4x
d/dx(6x) = 6
d/dx(8) = 0
Ergebnis: f'(x) = 12x^3 - 15x^2 + 4x + 6

Anwendungen der ableitungen

Ableitungen liefern momentane Änderungsraten, helfen bei der Optimierung, analysieren Krümmung und Wendepunkte und bilden die Basis für Integrale und Differentialgleichungen.