STATIONÄRE PUNKTE, STEIGENDE UND FALLENDE FUNKTIONEN
KONZEPT DER STATIONÄREN PUNKTE
Stationäre Punkte sind spezielle Punkte auf dem Graphen einer Funktion, an denen die Ableitung Null ist. An diesen Punkten bleibt die Funktion „stehen“, da ihr Wert dort weder steigt noch fällt. In symbolischer Form bedeutet dies, dass es gilt:
f'(x) = 0.
Dies sind oft Kandidaten für lokale Extrema - d. h. Maxima oder Minima einer Funktion -, aber es können auch Punkte sein, an denen die Funktion von steigend zu fallend oder umgekehrt übergeht, ohne einen Extremwert zu erreichen.
STEIGENDE UND FALLENDE FUNKTIONEN
Die Ableitung einer Funktion gibt Aufschluss darüber, ob die Funktion ansteigt oder abfällt:
- Ist die Ableitung positiv (f'(x) > 0), dann ist die Funktion steigend, d. h. die Kurve steigt an.
- Ist die Ableitung negativ (f'(x) < 0), dann ist die Funktion abnehmend, d. h. die Kurve geht nach unten.
- Ist die Ableitung gleich Null (f'(x) = 0), kann es sich um einen stationären Punkt handeln, aber ob es sich um ein Maximum, ein Minimum oder etwas anderes handelt, muss durch weitere Analysen festgestellt werden.
BESTIMMUNG DER ART DES STATIONÄREN PUNKTES
Um die Art eines stationären Punktes zu bestimmen (ob es sich um eine Spitze, ein Tal oder eine Unterbrechung handelt), wird in der Regel untersucht, wie sich die Ableitung links und rechts des Punktes verhält:
- Wenn die Ableitung von positiv nach negativ geht, hat die Funktion ein lokales Maximum.
- Wenn die Ableitung von negativ nach positiv geht, hat die Funktion ein lokales Minimum.
- Wenn sich das Vorzeichen der Ableitung nicht ändert, gibt es in der Regel einen Wendepunkt, an dem die Funktion von steigend zu weiter steigend oder von fallend zu weiter fallend übergeht.
BEISPIEL
Es sei f(x) = x².
- Die Ableitung dieser Funktion ist f'(x) = 2x.
- Wenn wir die Gleichung 2x = 0 lösen, erhalten wir einen stationären Punkt bei x = 0.
- Links von 0 ist die Ableitung negativ (der Graph ist abnehmend), rechts von 0 ist die Ableitung positiv (der Graph ist steigend) → es handelt sich also um ein lokales Minimum.
ZUSAMMENFASSUNG
- Ein stationärer Punkt liegt vor, wenn die Ableitung einer Funktion gleich Null ist.
- DasSteigen oder Fallen einer Funktion wird durch das Vorzeichen der Ableitung bestimmt.
- Die Art des stationären Punktes wird durch den Vergleich der Werte der Ableitung kurz vor und kurz nach diesem Punkt bestimmt.
Das Verständnis dieser Konzepte ist für die Untersuchung des Verlaufs einer Funktion von entscheidender Bedeutung, da es eine genaue Analyse ihres Verhaltens über den gesamten Definitionsbereich ermöglicht.
