EXTREMWERTE EINER FUNKTION
Die Extrema einer Funktion sind die Punkte auf dem Graphen der Funktion, an denen die Funktion ihre lokalen Maxima oder Minima erreicht. Mit anderen Worten, es handelt sich um die Punkte, an denen die Funktion in ihrer unmittelbaren Umgebung am höchsten oder am niedrigsten ist.
WIE ERKENNT MAN EXTREMA?
Die Extrema einer Funktion lassen sich mit Hilfe von Ableitungen finden. Wenn die Ableitung einer Funktion f(x) im Punkt x = a gleich Null ist und sich das Vorzeichen der Ableitung beim Durchgang durch diesen Punkt ändert, dann ist der Punkt x = a ein Extremum der Funktion.
VERFAHREN ZUR BESTIMMUNG DER EXTREMA:
- Bestimmung der Ableitung der Funktion: Berechnen Sie zunächst die erste Ableitung der Funktion f(x), die als f'(x) bezeichnet wird.
- Kritische Punkte sind diejenigen, an denen f'(x) = 0 ist oder an denen f'(x) nicht definiert ist.
- Prüfen Sie die Art des Extremums: Verwenden Sie den Test der zweiten Ableitung oder der ersten Ableitung, um festzustellen, ob es am kritischen Punkt ein Maximum, ein Minimum oder einen Wendepunkt gibt.
BEISPIEL:
Nehmen wir die Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2.
- Finde die Ableitung: f'(x) = 3x² - 6x.
- Bestimme die kritischen Punkte: Löse f'(x) = 0. 3x² - 6x = 0; x(3x - 6) = 0. Die kritischen Punkte sind x = 0 und x = 2.
- Überprüfen Sie die Art des Extremums: Verwenden Sie den Test der ersten Ableitung. Berechnen Sie f'(x) für Werte kleiner und größer als die kritischen Punkte:
- Wenn x < 0 ist, ist f'(x) positiv, was bedeutet, dass die Funktion ansteigend ist.
- Wenn 0 < x < 2, ist f'(x) negativ, was bedeutet, dass die Funktion abnimmt. Daher gibt es bei x = 0 ein lokales Maximum.
- Wenn x > 2 ist, ist f'(x) positiv, was bedeutet, dass die Funktion wieder zunimmt. Bei x = 2 gibt es also ein lokales Minimum.
