Finanzmathematik

ZINSRECHNUNG

Zinsen sind der Betrag, der dem Anfangskapital als Entschädigung für die Nutzung des Geldes hinzugefügt wird. Wir kennen einfache Zinsen und Zinseszinsen.

EINFACHE ZINSEN

Bei der einfachen Verzinsung werden Zinsen nur auf das Anfangskapital K₀ berechnet. Die Formel für den Endbetrag K nach n Jahren bei einem Zinssatz r lautet:

K = K₀ * (1 + r * n)

Wenn wir beispielsweise 1000 € zu einem jährlichen Zinssatz von 5 % für 3 Jahre anlegen, erhalten wir:

K = 1000 * (1 + 0.05 * 3) = 1000 * (1 + 0.15) = 1000 * 1.15 = 1150 €

ZINSESZINSRECHNUNG

Bei der Zinseszinsrechnung werden die Zinsen dem Anfangskapital hinzugefügt und im folgenden Zeitraum mitverzinst. Die Formel lautet:

K = K₀ * (1 + r)ⁿ (K Null mal Klammer auf 1 plus r Klammer zu hoch n)

Wenn wir 1000 € zu einem jährlichen Zinssatz von 5 % für 3 Jahre anlegen, beträgt der Endbetrag:

K = 1000 * (1.05)³ = 1000 * 1.157625 ≈ 1157.63 €

ANNUITÄTEN

Annuitäten sind gleichmäßige periodische Zahlungsbeträge, wie monatliche oder jährliche Raten bei Krediten. Die Formel für den Barwert einer Annuität (Rentenbarwertfaktor) ist komplexer und wird oft zur Berechnung der regelmäßigen Zahlung (Annuität A) verwendet, wenn das Darlehen P, der Zinssatz r und die Anzahl der Zahlungsperioden n bekannt sind. Eine häufig verwendete Formel zur Berechnung der Annuität (A) eines Darlehens (P) ist:

A = P * [r * (1 + r)ⁿ] / [(1 + r)ⁿ – 1]

(Die im slowenischen Text genannte Formel A = P × [(1 – (1 + r)⁻ⁿ) / r] ist die Formel für den Barwert (P oder A₀) einer nachschüssigen Annuität (A oder R), nicht für die Annuität selbst, wenn P die Annuitätenrate wäre. Ich gehe davon aus, dass P die Hauptsumme/das Darlehen ist und A die Annuitätenrate sein soll, daher die Anpassung. Wenn P die regelmäßige Zahlung wäre, dann würde die Formel den Barwert A berechnen.)

DISKONTIERUNG UND BARWERT

Der Barwert des Geldes berücksichtigt, dass heutiges Geld einen höheren Wert hat als der gleiche Betrag in der Zukunft (Zeitwert des Geldes). Die Formel für den Barwert (PV - Present Value) eines zukünftigen Betrags (FV - Future Value) nach n Jahren bei einem jährlichen Diskontsatz r lautet:

PV = FV / (1 + r)ⁿ

Wenn wir in 5 Jahren 2000 € bei einem jährlichen Diskontsatz von 4 % erwarten, beträgt der Barwert:

PV = 2000 / (1.04)⁵ = 2000 / 1.2166529024 ≈ 1643.86 € (Hinweis: Leichte Abweichung vom Original aufgrund genauerer Berechnung des Nenners)

FAZIT

Die Finanzmathematik ist entscheidend für die Bewertung von Investitionen, Krediten und dem Wert des Geldes im Zeitverlauf. Mit dem Verständnis von Verzinsung, Diskontierung und Annuitäten können persönliche und geschäftliche Finanzen besser verwaltet werden.