Zinseszinsrechnung

EINFÜHRUNG IN DIE ZUSAMMENGESETZTE VERZINSUNG

Die Zinseszinsrechnung ist eine Methode, bei der Zinsen nicht nur auf das anfängliche Hauptkapital (die Gläubigerforderung), sondern auch auf bereits angesammelte Zinsen нараховуються. Dieser Prozess, auch Kapitalisierung genannt, bedeutet, dass in jeder Abrechnungsperiode die neue Grundlage für die Zinsberechnung die Summe aus Hauptkapital und den bereits angefallenen Zinsen wird. Dadurch steigt der Wert der Anlage nicht linear, sondern exponentiell.

GRUNDFORMEL

Sei:

• P das anfängliche Hauptkapital (Anlage),
• r der jährliche Zinssatz (in Dezimalform),
• n die Anzahl der Abrechnungsperioden (Kapitalisierungsintervalle) pro Jahr,
• t die Zeit in Jahren,
• A der Endwert der Anlage nach t Jahren,

dann gilt:

A = P * (1 + r/n)^(n*t) (P mal Klammer auf 1 plus r durch n Klammer zu hoch n mal t)

Wenn die Zinsen einmal jährlich kapitalisiert werden, dann ist n = 1 und die Formel vereinfacht sich zu:

A = P * (1 + r)^t (P mal Klammer auf 1 plus r Klammer zu hoch t)

ERMITTLUNG DER ZINSEN

Der Betrag der Zinsen, den die Anlage erbracht hat, ist:

I = A – P

RECHENBEISPIEL

Wir legen 1.000 € zu einem jährlichen Zinssatz von 5 % an, mit jährlicher Kapitalisierung, für einen Zeitraum von 3 Jahren:

P = 1.000 €
r = 0,05
n = 1
t = 3

A = 1.000 * (1 + 0,05/1)^(1*3) = 1.000 * (1 + 0,05)^3 = 1.000 * (1,05)^3 = 1.000 * 1,157625 = 1.157,63 €
I = 1.157,63 – 1.000 = 157,63 €

BEISPIEL MIT MEHREREN KAPITALISIERUNGEN PRO JAHR

Wenn die Zinsen vierteljährlich kapitalisiert werden (n = 4):

P = 1.000 €
r = 0,05
n = 4
t = 3

A = 1.000 * (1 + 0,05/4)^(4*3) = 1.000 * (1 + 0,0125)^12 = 1.000 * (1,0125)^12 ≈ 1.000 * 1,1607545 ≈ 1.160,75 €

Bei einer höheren Kapitalisierungsfrequenz ist auch die Endsumme etwas höher.

ABSCHLIESSENDE BEMERKUNG ZUM WACHSTUM

Aufgrund des Zinseszinseffekts (Kapitalisierung der Zinsen) wächst der Wert der Anlage exponentiell mit der Zeit, was bedeutet, dass eine längere Laufzeit und eine häufigere Kapitalisierung die Gesamtrendite erheblich steigern. Genau dieses Prinzip der Zinseszinsrechnung ist die Grundlage für langfristiges Sparen und Investieren.

FAZIT

Die Zinseszinsrechnung ermöglicht es, dass Zinsen selbst wieder Zinsen erwirtschaften, was zu einem beschleunigten Wachstum der Anlage führt. Dieses Prinzip ist in der Finanzmathematik von entscheidender Bedeutung, da wir ihm beim Sparen, bei Krediten und bei langfristigen Anlagen begegnen.