FORTSETZUNG DER GRUNDLEGENDEN EIGENSCHAFTEN VON LOGARITHMEN
Im ersten Regelwerk für Logarithmen haben wir die Grundregeln für Produkt, Quotient, Potenz, Basensubstitution und die Sonderfälle von Einheits- und Basislogarithmen kennen gelernt. Wir vertiefen unser Verständnis dieser Regeln weiter, insbesondere im Zusammenhang mit zusammengesetzten Ausdrücken, negativen Exponenten, Wurzeln, dem Absolutwert und der Logarithmierung beider Seiten einer Gleichung.
LOGARITHMISCHE WURZELN
Da die Wurzel als eine Potenz geschrieben werden kann, verwenden wir die Potenzregel:
- √x = x^(1/2), also: log_b(√x) = log_b(x^(1/2)) = (1/2) - log_b(x)
Beispiel:
log₃(√9) = (1/2) - log₃(9) = (1/2) - 2 = 1
NEGATIVER EXPONENT IM LOGARITHMUS
Wenn wir einen Logarithmus einer Potenz mit einem negativen Exponenten haben, wenden wir ebenfalls die Potenzregel an:
- log_b(x^-n) = -n - log_b(x)
Beispiel:
log₁₀(10^-2) = -2 - log₁₀(10) = -2 - 1 = -2
LOGARITHMUS DES ABSOLUTWERTS
Der Logarithmus ist nur für positive Argumente definiert, daher verwenden wir in manchen Zusammenhängen den Absolutwert:
- Wenn die allgemeine Form der Funktion ausgedrückt wird, ist es oft der Fall, dass:log_b(|x|), die Definition für negative Werte von x korrekt ist, wobei zu beachten ist, dass wir nur den positiven Teil logarithmieren.
Beispiel:
log₁₀(-5) → nicht in reellen Zahlen definiert
log₁₀(|-5|) = log₁₀(5) → definiert
LOGARITHMUS BEIDER SEITEN DER GLEICHUNG
Eine wichtige Technik zum Lösen von Gleichungen, bei denen die Unbekannte im Exponenten liegt, ist das Logarithmieren beider Seiten:
- Wenn a^x = b, dann:log_b(b) = log_b(a^x) ⇒ x = log_b(b)
Alternativ können wir eine beliebige Basis verwenden, am häufigsten log (Basis 10) oder ln (Basis e):
- x = log(a^x) = x - log(a)
- Also: x = log(b) / log(a)
Beispiel:
3^x = 81 → log₁₀(3^x) = log₁₀(81) ⇒ x - log(3) = log(81) ⇒ x = log(81)/log(3) = 4
WIEDERHOLUNGEN UND HERVORHEBUNGEN
- Die Wurzel kann als Potenz mit dem Exponenten 1/n geschrieben werden
- Der Logarithmus einer negativen Zahl ist in reellen Zahlen nicht definiert.
- In Ausdrücken, die mit einer Potenz geschrieben werden, wird der Exponent vor dem Logarithmus verwendet .
- Das Logarithmieren beider Seiten einer Gleichung ist der Schlüssel zum Lösen von Exponentialgleichungen.
SCHLUSSFOLGERUNG
Die zweite Gruppe von Regeln für den Logarithmus erweitert die Grundkenntnisse in Richtung des Lösens komplexerer Ausdrücke und Gleichungen. Durch die Verwendung von Wurzeln, negativen Exponenten, dem Absolutwert und dem Logarithmieren beider Seiten von Gleichungen erhalten wir fortgeschrittene Werkzeuge, die für die Arbeit mit exponentiellen Ausdrücken und der logarithmischen Funktion unerlässlich sind. Diese Regeln sind besonders wichtig für analytische Problemlösungen, Datenmodellierung und die Vorbereitung auf komplexere mathematische Inhalte.
