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"Für die nächste Generation"
Die Menge aller Polynome mit reellen Koeffizienten bildet eine wichtige algebraische Struktur, in der man grundlegende Rechenoperationen ausführen kann. Jedes Polynom kann man schreiben als:
P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n,
wobei ai ∈ R und n ∈ N0. Solche Ausdrücke kann man addieren, subtrahieren, multiplizieren und durch andere Polynome dividieren. Das Ergebnis jeder dieser Operationen (außer Division mit Rest) ist wieder ein Polynom.
Polynome werden gliedweise addiert oder subtrahiert. Das bedeutet, dass wir die Koeffizienten der gleichen Potenzen der Variablen zusammenfassen.
Beispiel:
P(x) = 2x^2 + 3x - 1
Q(x) = x^2 - 5x + 4
P(x) + Q(x) = (2x^2 + x^2) + (3x - 5x) + (-1 + 4) = 3x^2 - 2x + 3
Die Subtraktion funktioniert genauso, unter Beachtung der Vorzeichenänderung.
Die Multiplikation folgt dem Distributivgesetz: Jeder Term des ersten Polynoms wird mit jedem Term des zweiten Polynoms multipliziert, danach werden gleichartige Terme zusammengefasst.
Beispiel:
P(x) = x + 2
Q(x) = x - 3
P(x)Q(x) = xx + x*(-3) + 2x + 2(-3) = x^2 - x - 6
In der Menge der Polynome mit reellen Koeffizienten ist das Ergebnis wieder ein Polynom.
Das Dividieren eines Polynoms durch ein anderes (mit gleichem oder niedrigerem Grad) funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division bei Zahlen. Man verwendet das Polynom-Divisionsverfahren mit Rest.
Beispiel:
Teile P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2 durch D(x) = x - 1
Aus der Division erhalten wir:
P(x) = (x - 1)*(x^2 + 3x + 2) + 0
Ergebnis: Der Quotient ist x^2 + 3x + 2 und der Rest ist 0.
Wenn der Rest nicht 0 ist, kann man schreiben:
P(x)/D(x) = Quotient + (Rest / D(x))
Für Polynome gelten folgende Eigenschaften:
Die Operationen in der Menge der Polynome sind grundlegende algebraische Operationen innerhalb einer einheitlichen mathematischen Struktur. Diese Operationen folgen den Eigenschaften von Zahlensystemen und bilden die Grundlage für die weitere Behandlung von Gleichungen, Funktionen und algebraischen Strukturen. Jede Operation, von der Addition bis zur Division, bewahrt die systematische Struktur der Polynome.
