Maximaler gemeinsamer Teiler und minimales gemeinsames Vielfaches - das Problem

DER GRÖSSTE GEMEINSAME TEILER UND DAS KLEINSTE GEMEINSAME VIELFACHE

DEFINITION DES GRÖSSTEN GEMEINSAMEN TEILERS (GREATEST COMMON DIVISOR)

Der größte gemeinsame Teiler von zwei oder mehr ganzen Zahlen ist die größte Zahl, die alle diese Zahlen ohne Rest teilt.

DEFINITION DES KLEINSTEN GEMEINSAMEN VIELFACHEN

Das kleinste gemeinsame Vielfache von zwei oder mehr ganzen Zahlen ist die kleinste Zahl, die durch alle diese ganzen Zahlen teilbar ist.

METHODEN ZUR BERECHNUNG DES GRÖSSTEN GEMEINSAMEN TEILERS UND DES KLEINSTEN GEMEINSAMEN VIELFACHEN

Es gibt mehrere Methoden zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Die bekannteste davon ist die euklidische Methode/der euklidische Algorithmus für den größten gemeinsamen Teiler und die Anwendung der Grundregel, dass das kleinste gemeinsame Vielfache gleich dem Produkt der Zahlen geteilt durch den größten gemeinsamen Teiler ist.

BEISPIELPROBLEM

Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache für die Zahlen 18 und 12.

1. Größter gemeinsamer Teiler:
2. • Teilen Sie zunächst die Zahlen in Primfaktoren:
   • • 18 = 2 × 3²
     • 12 = 2² × 3
   • Die gemeinsamen Primfaktoren sind 2 und 3.
   • Der größte gemeinsame Teiler ist das Produkt der kleinsten Potenzen der gemeinsamen Primfaktoren: 2 × 3 = 6.
2. Minimales gemeinsames Vielfaches:
3. • Berechne zunächst das Produkt der Zahlen: 18 × 12 = 216.
   • Das minimale gemeinsame Vielfache berechnet sich aus dem Produkt der Zahlen geteilt durch den größten gemeinsamen Teiler: 216 / 6 = 36
   • Alternativ kann man sich auch merken, dass das minimale gemeinsame Vielfache das Produkt der höchsten Potenzen aller Primfaktoren der beiden Zahlen ist, also 2² × 3² = 36 .