Gleichung der Tangente an eine Kurve im Punkt T

Einführung in Tangenten an Kurven

Eine Tangente an eine Kurve in einem gegebenen Punkt ist die Gerade, die die Kurve dort berührt und an diesem Punkt dieselbe Steigung wie die Kurve hat. Die Tangentengleichung ist ein wichtiges Werkzeug der Differentialrechnung mit Anwendungen in Geometrie, Analysis und Physik.

Grundprinzipien zur Bestimmung der Tangentengleichung

Zur Bestimmung der Tangentengleichung im Punkt T benötigt man:

• Die Gleichung der Kurve, meist y = f(x).
• Die Koordinaten des Punkts T(x0, y0), durch den die Tangente verläuft. Der Punkt T muss auf der Kurve liegen.
• Die Ableitung f'(x) an der Stelle x0; sie gibt die Steigung der Tangente an.

Vorgehen zur Berechnung der Tangentengleichung

Die Tangente an y = f(x) im Punkt T(x0, y0) lautet:
y - y0 = f'(x0) * (x - x0).

Beispiel: f(x) = x^2 und T(2, 4)

1. Ableitung: f'(x) = 2 * x.
2. An x0 = 2: f'(2) = 4.
3. Einsetzen: y - 4 = 4 * (x - 2).
   Vereinfacht: y = 4 * x - 4.

Kernpunkte

• Die Tangente in T berührt die Kurve in T und hat dort dieselbe Steigung.
• Für die Gleichung benötigt man die Ableitung im Berührpunkt.
• Formel: y - y0 = f'(x0) * (x - x0).