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"Für die nächste Generation"
Der Umfang (O) ist die Summe aller drei Seiten: O = a + b + c. Notiere stets die Einheiten (z. B. cm). Beispiel: Ein Dreieck mit den Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm hat O = 3 + 4 + 5 = 12 cm. Kennst du nur zwei Seiten und einen Winkel oder eine Höhe, lässt sich der Umfang nicht direkt berechnen – bestimme zuerst die fehlende Seite (mit dem Kosinussatz oder mit dem Satz des Pythagoras beim rechtwinkligen Dreieck).
Die Grundformel für den Flächeninhalt (P) lautet P = (a · h_a)/2, wobei h_a die Höhe auf die Grundseite a ist. Kennst du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel γ, nutze P = (1/2)ab sin γ. Sind nur die drei Seiten bekannt, hilft die Heronsche Formel: Zuerst den Halb-Umfang s = (a + b + c)/2 berechnen, dann P = √(s(s − a)(s − b)(s − c)). Besonders praktisch, wenn die Höhen unbekannt sind, die Seiten aber gegeben.
Beim rechtwinkligen Dreieck mit Katheten p und q gilt P = (p · q)/2, der Umfang ist O = p + q + √(p² + q²). Beim gleichschenkligen Dreieck erhältst du die Höhe auf die Basis über Halbierung der Basis und den Satz des Pythagoras. Ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge a hat O = 3a und P = (a²√3)/4. Diese Spezialformen sparen Zeit und dienen als schneller Plausibilitätscheck.
(1) Dreiecksungleichung prüfen: Für jedes Seitenpaar gilt a + b > c (zyklisch). (2) Einheiten und sinnvolles Runden nicht vergessen. (3) Bei Heron darf unter der Wurzel kein negativer Wert stehen – sonst sind die Angaben unvereinbar. (4) Schneller Test: Für Seiten 7, 8 und 5 gilt O = 20 cm, s = 10 cm und P = √(10 · 3 · 2 · 5) = √300 ≈ 17,32 cm². Das Ergebnis ist plausibel kleiner als eine grobe Schätzung über Grundseite und Höhe. Für Prüfungen gilt: Skizze anfertigen, Daten markieren, passende Formel wählen – erst dann rechnen.
