EINFÜHRUNG IN RATIONALE FUNKTIONEN
Eine rationale Funktion ist das Verhältnis (der Bruch) von zwei Polynomfunktionen. Sie wird in der folgenden Form geschrieben:
f(x) = p(x) / q(x)
wobei p(x) und q(x) Polynome sind und q(x) ungleich Null ist (damit die Funktion definiert ist). Eine Besonderheit der rationalen Funktionen ist, dass ihr Graph Lücken, Asymptoten und komplexe Änderungen enthalten kann, die bei Polynomen nicht vorkommen.
WICHTIGE EIGENSCHAFTEN DES GRAPHEN
Beim Zeichnen des Graphen einer rationalen Funktion analysieren wir mehrere wichtige Eigenschaften:
- BereichWir bestimmen, für welche Werte von x die Funktion nicht definiert ist. Dies sind die Werte, für die der Nenner gleich Null ist (q(x) = 0). Diese Punkte schließen wir aus dem Definitionsbereich aus.
- Vertikale AsymptotenJeder Wert von x, für den q(x) = 0 und p(x) ≠ 0 ist, definiert eine vertikale Asymptote - eine Linie, zu der der Graph konvergiert, die sich aber nicht schneidet.
- Horizontale AsymptotenDiese werden durch den Vergleich des Grades des Polynoms im Zähler und im Nenner bestimmt:
- Wenn der Grad des Zählers kleiner ist als der Grad des Nenners → ist die horizontale Asymptote y = 0
- Wenn die Grade gleich sind → ist die Asymptote y = Koeffizient des führenden Terms des Zählers / Koeffizient des führenden Terms des Nenners
- Ist der Grad des Zählers größer → gibt es keine horizontale Asymptote (aber möglicherweise eine schräge)
- DieSchnittpunkte mit der y-Achseerhält man durch Berechnung von f(0), wenn 0 im Bereich der Funktion liegt.
- FunktionsnullstellenPunkte, an denen p(x) = 0 ist, definieren, wo der Graph die x-Achse schneidet - d. h., wo die Funktion einen Wert von 0 hat.
- Verhalten an AsymptotenWir prüfen, ob sich der Graph der Asymptote „von oben“ oder „von unten“ nähert, und auf welcher Seite des Punktes.
ZUSÄTZLICHE EIGENSCHAFTEN
- Schräge AsymptoteWenn der Grad des Zählers um eins größer ist als der Grad des Nenners, kann die Division eine schräge Asymptote ergeben, d. h. eine Linie der Form y = mx + n, gegen die der Graph für große Werte von x konvergiert.
- Lücken im Graphen (Stornierung)Wenn die Terme im Zähler und im Nenner abgeschnitten werden (z. B. (x - 2)/(x - 2)(x + 1)), dann hat der Graph bei x = 2 keine Asymptote, sondern eine Lücke, die normalerweise durch einen offenen Kreis dargestellt wird.
BEISPIEL
Es sei die Funktion:
f(x) = (x² - 1) / (x - 1)
- Teilen Sie den Zähler: f(x) = ((x - 1)(x + 1)) / (x - 1)
- Wir stehlen (obwohl wir den Bereich beobachten): f(x) = x + 1, aber x ≠ 1
- Bereich: alle reellen x außer 1
- Bei x = 1 ist die Funktion nicht definiert → Lücke
- Der Graph der Funktion ist die Gerade y = x + 1, aber mit einer Lücke bei x = 1.
SCHLUSSFOLGERUNG
Der Graph einer rationalen Funktion weist eine reiche Struktur mit Asymptoten, Nullstellen, Lücken und Richtungsänderungen auf. Um den Graphen richtig zu zeichnen, müssen Zähler und Nenner sorgfältig analysiert und alle wichtigen Eigenschaften berechnet werden. Rationale Funktionen geben Aufschluss über das Verhalten von Ausdrücken, bei denen es zu Teilungen von Variablen kommt, und sind ein wichtiger Bestandteil der mathematischen Analyse.
