Asymptote einer rationalen Funktion

DEFINITION EINER RATIONALEN FUNKTION

Eine rationale Funktion ist eine mathematische Funktion, die als Quotient von zwei Polynomen ausgedrückt werden kann. Das bedeutet, dass eine rationale Funktion die Form f(x) = P(x)/Q(x) hat, wobei P(x) und Q(x) Polynome sind und Q(x) kein Nullpolynom sein darf (Q(x) ≠ 0).

BEGRIFF DER ASYMPTOTE

Die Asymptote einer rationalen Funktion ist eine Gerade, die das Verhalten des Graphen der Funktion beschreibt, wenn x oder f(x) sich bestimmten Werten nähern, diese aber nie erreichen. Es gibt drei Arten von Asymptoten: vertikale, horizontale und schräge Asymptoten.

1. Vertikale Asymptoten treten auf, wenn sich die Funktion dem Unendlichen oder dem Minus-Unendlichen nähert, während sich x einem bestimmten Wert nähert. Dies ist der Fall, wenn der Nenner Q(x) gleich 0 ist, der Zähler P(x) für denselben Wert von x jedoch nicht gleich 0 ist.
2. Horizontale Asymptoten beschreiben das Verhalten des Graphen einer Funktion, wenn sich x gegen unendlich oder minus unendlich bewegt. Eine horizontale Asymptote tritt auf, wenn sich der Wert einer Funktion einer Konstanten nähert.
3. Schräge Asymptoten sind Asymptoten, die weder vertikal noch horizontal sind. Sie treten auf, wenn der Grad des Zählers den Grad des Nenners um eins übersteigt.

WIE FINDET MAN DIE ASYMPTOTEN EINER RATIONALEN FUNKTION?

1. Vertikale Asymptoten: Lösen Sie die Gleichung Q(x) = 0. Jede Lösung, bei der P(x) ungleich 0 ist, ist der Ort der vertikalen Asymptote.
2. Horizontale Asymptoten: Wenn der Grad des Polynoms im Zähler kleiner ist als der Grad des Polynoms im Nenner, ist y=0 eine horizontale Asymptote. Wenn die Grade gleich sind, ist die horizontale Asymptote y= Koeffizient auf dem höchsten Potential des Zählers / Koeffizient auf dem höchsten Potential des Nenners.
3. Schräge Asymptoten: Wenn die Zählerrate die Nennerrate um eins übersteigt, wird eine Polynomdivision durchgeführt, um eine lineare Gleichung zu erhalten, die die schräge Asymptote darstellt.

BEISPIEL:

Finden Sie die Asymptoten für die Funktion f(x) = (2x² + 3x - 5)/(x - 1).

1. Vertikale Asymptote: Lösen Sie x - 1 = 0, was x = 1 ergibt. Bei x = 1 wird der Nenner 0, der Zähler jedoch nicht, so dass wir eine vertikale Asymptote bei x = 1 haben.
2. Horizontale Asymptote: Da der Grad des Zählers (2) größer ist als der Grad des Nenners (1), gibt es keine horizontale Asymptote.
3. Schräge Asymptote: Wir führen die Division der Polynome (2x² + 3x - 5) durch (x - 1) durch, was eine lineare Gleichung ergibt. Nehmen wir an, das Ergebnis der Division ist 2x + 5. Das bedeutet, dass die schräge Asymptote y = 2x + 5 ist.